Modelos avanzados en evaluación de recursos pesqueros


Dr. Giancarlo M. Correa


Cousteau Consultant Group

Modelo poblacional

Estructura interna

Dos principales dimensiones: años y edad.

Haddon (2011)

Crecimiento: estructura inicial

Al nacer, se asigna la talla mínima en la población (\(L_{min}\)). Luego, crecen linealmente hasta \(A_1\):

\[L_{0,a} = L_{min} + ba\]

Donde

\[b = \frac{L_{A_1}- L_{min}}{A_1}\]

  • \(a=\) edad
  • \(A_1=\) edad de referencia (cercana a la edad 0). Se recomienda que sea la edad donde comenzamos a tener buenos datos

Crecimiento: estructura inicial

Para \(a > A_1\), los peces crecen según la ecuación de crecimiento seleccionada

Por ejemplo, usando la ecuación de von Bertalanffy, longitud media a la edad de la población:

\[L_{0,a} = L_{\infty} + (L_{A_1} - L_{\infty})(exp(-k(a-A_1)))\]

  • \(L_{A_1}=\) longitud media a la edad \(A_1\) (\(cm\))
  • \(L_{\infty}=\) longitud asintótica (\(cm\))
  • \(k=\) tasa de crecimiento (\(1/year\))

Crecimiento: dinámica


Para \(y>0\), usamos:

\[L_{y+1,a+1} = L_{y,a} + (L_{y,a}-L_{\infty})(exp(-k) - 1)\]

Para el grupo plus, la ecuación es ligeramente diferente para acumular tallas (ver Technical Description, Methot and Wetzel (2013)).

Crecimiento


Para cualquier fracción \(\theta\) del año:

\[\tilde{L}_{y,a}=L_{y,a} + (L_{y,a}-L_{\infty})(exp(-k\theta)-1)\]


Esto es importante dado que los peces también crecen dentro de un año.

Crecimiento


Otras parametrizaciones estan disponibles:

Crecimiento

Talla media a la edad de la población.

Crecimiento

Variabilidad de tallas por edad.

Crecimiento

Variabilidad de tallas por edad:

\[\sigma_{y,a} = \begin{cases} \tilde{L}_{y,a}(CV_1) &\text{a$\leq$ A1}\\ \tilde{L}_{y,a}(CV_1+\frac{\tilde{L}_{y,a}-L_1}{L_2-L_1}(CV_2 - CV1)) &\text{a>A1} \end{cases}\]

Donde tenemos dos parámetros:

  • \(CV_1\) es el coeficiente de variación de longitudes en la edad \(A_1\)
  • \(CV_2\) es el coeficiente de variación de longitudes en la máxima edad

También podemos calcular \(\sigma_{y,a}\) como función de la edad.

Matriz de transición

Distribuye la información de cada edad entre las diferentes marcas de clase modeladas.

\[\varphi_{y,l,a}=\begin{cases} \Phi(\frac{L'_{min^\ast} - L_{y,a}}{\sigma_{y,a}})\hspace{3.2cm}l=1\\ \Phi(\frac{L'_{l+1} - L_{y,a}}{\sigma_{y,a}})-\Phi(\frac{L'_{l} - L_{y,a}}{\sigma_{y,a}})\hspace{1cm}1<l<n_L\\ 1-\Phi(\frac{L'_{max} - L_{y,a}}{\sigma_{y,a}})\hspace{2.5cm}l=n_L \end{cases}\]

\(\Phi\) es la distribución normal estándar acumulada, \(L'\) representa las marcas de clase modeladas, \(l\) es indicador de marca de clase, \(n_L\) es el número de marcas de clase. \(L\) también podría ser \(\tilde{L}\).

Matriz de transición

Matriz de transición


Crecimiento


También podemos modelar morphs, que son colecciones de peces de una cohorte con carácterísticas biológicas únicas (e.g., mortalidad, crecimiento). Usado cuando queremos modelar, por ejemplo, diferentes parámetros biológicos en diferentes áreas o seasons.

Estos morphs a su vez pueden ser dividos en platoons para permitir supervivencia dependiente de la talla. Ver este artículo: McGarvey et al. (2024).

Longitud-peso


Convertir de talla (cm) a peso corporal (kg):

\[w_l = \Omega_1 (L_l')^{\Omega_2}\]

Donde \(\Omega_1\) y \(\Omega_2\) son parámetros del modelo.

Longitud-peso

Madurez sexual


Puede ser modelada como una función de talla o edad. Como función de talla:

\[Mat_l = \frac{1}{1+exp(\Omega_4(L'_l - \Omega_3))}\]

Donde \(\Omega_3\) (talla a 50% madurez) y \(\Omega_4\) (pendiente) son parámetros del modelo.

Madurez sexual

Producción de huevos


La producción de huevos es modelada como una función de la talla:

\[Eggs_l = \Omega_5 + w_l \Omega_6\]

Donde \(Eggs_l\) representa la producción de huevos por kg de peso de la hembra. Donde \(\Omega_5\) y \(\Omega_6\) son parámetros del modelo.

Producción de huevos

Asumiendo \(\Omega_5 = 1\) y \(\Omega_6=0\):

Fecunidad

Es modelada como:

\[f_{y,a} = \sum_l\varphi_{y,l,a}(Mat_lEggs_lw_l)\]

Finalmente, la biomasa desovante (SSB) puede ser estimada como:

\[SSB_y = \sum_a N_{y,a} f_{y,a}\]

Stock-reclutamiento

Usando la función Berverton-Holt:

\[R_y = \frac{4hR_0SSB_y}{SSB_0(1-h)+SSB_y(5h-1)}exp(-0.5b_y \sigma_R^2 + \tilde{R}_y)\]

Donde \(\tilde{R}_y \sim N(0,\sigma_R^2)\). \(R_0\) es el reclutamiento sin pesca, \(SSB_0\) es la biomasa desovante sin pesca, \(h\) es el steepness, \(b_y\) es el ajuste de sesgo aplicado durante el año \(y\), \(\sigma_R\) es la desviación estándar de desviaciones de reclutamiento en el espacio log natural, y \(\tilde{R}_y\) es es la desviación de reclutamiento lognormal.

Stock-reclutamiento

Usando la función Ricker:

\[R_y = \frac{R_0SSB_y}{SSB_0}exp(h(1-SSB_y/SSB_0))exp(-0.5b_y \sigma_R^2 + \tilde{R}_y)\]


Existen otras funciones stock-reclutamiento como: Hockey-Stick, Shepherd, Survivorship (Taylor et al. 2013), versión modificada de Ricker (Punt and Cope 2019).

Ajuste de sesgo

Aplicado para corregir sesgo entre transformaciones en escala natural y log (Methot and Taylor 2011). Normalmente se realiza un ajuste máximo durante el periodo con mayor cantidad de datos.

Ajuste de sesgo

Methot and Taylor (2011)

Stock-reclutamiento


Reclutamiento


El desove ocurre una vez por año (configuración por defecto), pero varios eventos de reclutamiento pueden ser especificado dentro del año (settlements).


La propoción del reclutamiento anual en cada settlements es estimada como parámetros.

Referencias

Haddon, M. 2011. Modelling and quantitative methods in fisheries. Chapman; Hall/CRC. doi:10.1201/9781439894170.
Maunder, M.N., Deriso, R.B., Schaefer, K.M., Fuller, D.W., Aires-da-Silva, A.M., Minte-Vera, C.V., and Campana, S.E. 2018. The growth cessation model: A growth model for species showing a near cessation in growth with application to bigeye tuna (thunnus obesus). Marine Biology 165: Not available. Springer Science; Business Media LLC. doi:10.1007/s00227-018-3336-9.
McGarvey, R., Methot, R.D., Punt, A.E., Matthews, J.M., Taylor, I.G., Feenstra, J.E., and Doering, K. 2024. Performance gains from incorporating dynamic numbers by length-within-age in fishery assessment models. Fisheries Research 276: 107039. Elsevier BV. doi:10.1016/j.fishres.2024.107039.
Methot, R.D., and Taylor, I.G. 2011. Adjusting for bias due to variability of estimated recruitments in fishery assessment models. Canadian Journal of Fisheries and Aquatic Sciences 68: 1744–1760. Canadian Science Publishing. doi:10.1139/f2011-092.
Methot, R.D., and Wetzel, C.R. 2013. Stock synthesis: A biological and statistical framework for fish stock assessment and fishery management. Fisheries Research 142: 86–99. Elsevier BV. doi:10.1016/j.fishres.2012.10.012.
Punt, A.E., and Cope, J.M. 2019. Extending integrated stock assessment models to use non-depensatory three-parameter stock-recruitment relationships. Fisheries Research 217: 46–57. Elsevier BV. doi:10.1016/j.fishres.2017.07.007.
Richards, F.J. 1959. A flexible growth function for empirical use. Journal of Experimental Botany 10: 290–301. Oxford University Press (OUP). doi:10.1093/jxb/10.2.290.
Taylor, I.G., Gertseva, V., Methot, R.D., and Maunder, M.N. 2013. A stock–recruitment relationship based on pre-recruit survival, illustrated with application to spiny dogfish shark. Fisheries Research 142: 15–21. Elsevier BV. doi:10.1016/j.fishres.2012.04.018.