Modelos avanzados en evaluación de recursos pesqueros: Día 3


Dr. Giancarlo M. Correa


Cousteau Consultant Group

WHAM: Abundancia a la edad

Abundancia a la edad

Transiciones de la abundancia entre edades (Na,y) (Stock and Miller 2021):

log(Na,y)={log(f(SSBy−1))+ε1,y,a=1log(Na−1,y−1)−Za−1,y−1+εa,y,1<a<Alog(NA−1,y−1exp(−ZA−1,y−1)+NA,y−1exp(−ZA,y−1))+εA,y,a=A

Donde a es la edad, y es año, A es el grupo plus, Z es la mortalidad total. εa,y son desviaciones estocásticas (e.g., immigración, emmigración, misreported catch).

Stock reclutamiento


¿Qué opciones tenemos para estimar reclutamiento? Vamos a omitir las desviaciones ε1,y:

  1. Estimar N1,y como efectos fijos (1 parámetro por año).

  2. Estima reclutamiento medio a lo largo de los años (N1,y=ˉR, 1 parámetro).

Stock reclutamiento

  1. Relación Beverton-Holt (2 parámetros)

N1,y=αSSBy−11+βSSBy−1

  1. Relación Ricker (2 parámetros)

N1,y=αSSBy−1exp(−βSSBy−1)

Stock reclutamiento


Para el caso de Beverton-Holt (B-H) y Ricker, es posible también usar h (steepness) y R0 (reclutamiento sin pesca).


Para B-H, α y β es calculado como:

α=4hSPR0(1−h)β=5h−1(1−h)R0SPR0

Donde SPR0 es el spawning stock biomass per recruit en condiciones sin pesca.

Stock reclutamiento


Para Ricker, α y β es calculado como:

α=exp(1.25log(5h)−log(SPR0))β=1.25log(5h)R0SPR0

Biomasa desovante


SSB se calcula como:

SSBy=∑aNa,y∗Wa,y∗mata,y∗exp(−Za,y∗frSSBy)

Donde W es peso a la edad, mat es madurez, y frSSB es la fracción del año donde ocurre el desove.

Desviaciones


εa,y son tratados como efectos aleatorios, y pueden tener diferentes estructuras.

  1. Independientes:

ε1,y∼N(−σ2R2,σ2R)

donde σ2R es la varianza de reclutamiento y es estimado como efecto fijo.

Desviaciones

  1. Correlación temporal:

ε1,y+1∼N(ρyearε1,y−σ2R2(1−ρ2year),σ2R)

donde −1<ρyear<1 es el parámetro de correlación a lo largo de los años.

Desviaciones

  1. Separado por edades:

εa,y∼{N(−σ2R2,σ2R),a=1N(−σ2a2,σ2a),a>1

Donde σ2a es la varianza que aplica a edades diferentes a 1.

Desviaciones

  1. Correlacionado por edades y año

E∼MVN(0,Σ)

E=(ε1,1,...,ε1,Y−1,ε2,1,...,ε1,Y−1,...,εA,1,...,εA,Y−1)′, Y es el número de años, y Σ es la matriz de covarianza:

Cov(εa,y,˜εa,y)=σaσ˜aρ|a−˜a|aρ|y−˜y|y(1−ρ2a)(1−ρ2y)

donde −1<ρa<1 y −1<ρy<1 son los coeficientes de autocorrelación (efectos fijos).

Población inicial

Recuerda que también necesitamos la estructura poblacional para y=1. Tenemos dos opciones:

  • Estimamos una abundancia a la edad como efectos fijos (número de parámetros igual al número de edades).

  • Estimamos un reclutamiento inicial N1,1 y una mortalidad por pesca F0 (2 parámetros).

Definición en R


my_input = wham::prepare_wham_input(model_name = "Example_1",
                         basic_info = input_data, 
                         NAA_re = list(), # NAA parameters
                         M = list(), # M parameter
                         selectivity = list(), # Selectivity parameter
                         catchability = list(), # Catchability parameter
                         ecov = list(), # Environmental information
                         # Crecimiento somatico:
                         growth = list(), LAA = list(), # Mean length-at-age
                         LW = list(), # Length-weight relationship
                         WAA = list(), # Mean weight-at-age
                         age_comp = "multinomial", # Age composition model
                         len_comp = "multinomial" # Length composition model
                         )

Definición en R


Enfoquemos solo la parte de abundancia a la edad. Se pueden incluir los siguientes argumentos:

my_input = wham::prepare_wham_input(...,
                         NAA_re = list(N1_model = ..., N1_pars = ..., # Pob inicial
                                       recruit_model = ..., # recruitment model
                                       use_steepness = ..., # use steepness ?
                                       recruit_pars = ...,  # S-R parameters
                                       sigma = ..., cor = ...),
                         ...
                         )

donde ... representa objetos que vamos a especificar.

Población inicial

  • N1_model: (integer) como modelar la abundancia a la edad inicial (primer año)
    • 0: estima abundancia a la edad inicial como efectos fijos
    • 1: estima reclutamiento inicial y mortalidad por pesca inicial (2 parámetros como efectos fijos)

Población inicial

  • N1_pars: (vector) valores iniciales para la abundancia a la edad inicial. Puede ser un vector con longitud igual al número de edades (si N1_model = 0), o un vector con dos valores: N1,1, y F0 (si N1_model = 1).

Modelo de reclutamiento


  • recruit_model: (integer) modelo para reclutamiento
    • 1: reclutamientos estimados como efectos fijos
    • 2: estima reclutamiento medio
    • 3: relación Beverton-Holt
    • 4: relación Ricker

Modelo de reclutamiento



  • use_steepness: (logical) TRUE or FALSE si se desea usar steepness formulation. Solo se usa si recruit_model>2.

Modelo de reclutamiento


  • recruit_pars: (vector) valores iniciales para el modelo de reclutamiento.
    • Si recruit_model=2, entonces viene a ser reclutamiento medio.
    • Si use_steepness = FALSE y recruit_model>2, entonces viene a ser α y β.
    • Si use_steepness = TRUE y recruit_model>2, entonces viene a ser h and R0.

Desviaciones


  • sigma: (caracter) permite estimar diferentes σa para diferentes grupos de edades.
    • rec: solo una varianza reclutamiento (edad 1, σ2R)
    • rec+1: dos varianzas: σ2R y σ2a (compartida entre edades diferentes a 1).

Desviaciones


  • cor: (caracter) estructura de desviaciones
    • iid: desviaciones independientes
    • ar1_a: desviaciones correlacionadas por edad
    • ar1_y: desviaciones correlacionadas por año
    • 2dar1: desviaciones correlacionadas por edad y año

WHAM: Mortalidad natural

Mortalidad natural

En WHAM, tenemos 3 opciones para estimar M como efecto fijo:

  1. M único para todas las edades, por lo tanto: Za,y=FySa,y+M.

  2. Ma por edad, por lo tanto: Za,y=FySa,y+Ma.

  3. M como función de peso a la edad (Lorenzen 1996): My,a=MWba,y. Por lo tanto: Za,y=FySa,y+Ma,y.

Desviaciones


Al igual que para abundancia a la edad, podemos estimar desviaciones del parámetro M:

log(Ma,y)=μMa+δa,y

μMa es el efecto fijo en log-scale.

Desviaciones


δa,y puede tener diferentes estructuras asumiendo una distribución normal:

  • Independientes (por año y edad)
  • Correlacionado por edades (constante en tiempo)
  • Correlacionado por años (constante en edades)
  • Correlacionado por edades y años

Definición en R


my_input = wham::prepare_wham_input(model_name = "Example_1",
                         basic_info = input_data, 
                         NAA_re = list(), # NAA parameters
                         M = list(), # M parameter
                         selectivity = list(), # Selectivity parameter
                         catchability = list(), # Catchability parameter
                         ecov = list(), # Environmental information
                         # Crecimiento somatico:
                         growth = list(), LAA = list(), # Mean length-at-age
                         LW = list(), # Length-weight relationship
                         WAA = list(), # Mean weight-at-age
                         age_comp = "multinomial", # Age composition model
                         len_comp = "multinomial" # Length composition model
                         )

Definición en R


Enfoquemos solo la parte de abundancia a la edad. Se pueden incluir los siguientes argumentos:

my_input = wham::prepare_wham_input(...,
                         M = list(model = ..., # Modelo M 
                                  re = ..., # Estructura desviaciones
                                  initial_means = ..., # Valor inicial
                                  est_ages = ..., # Edades a estimar
                                  logb_prior = ...), # Prior b (link to W)
                         ...
                         )

donde ... representa objetos que vamos a especificar.

Modelo para M


  • model: (caracter) modelo M a utilizar
    • constant: único M para todas las edades
    • age-specific: M para cada edad
    • weight-at-age: relación con peso a la edad

Estructura de desviaciones


  • re: (caracter) estructura a utilizar
    • none: no incluir desviaciones
    • iid: desviaciones por año y edad y son independientes.
    • ar1_a: desviaciones correlacionadas por edad (constante en tiempo)
    • ar1_y: desviaciones correlacionadas por año (constante en edad)
    • 2dar1: desviaciones correlacionadas por edad y año

Valores iniciales

  • initial_means: (vector) valores iniciales de M. Longitud va a depender del model que hayamos elegido. Para constant y weight-at-age, será solo un valor de M (logb es asumido ser 0.305).
  • est_ages: (vector) indexación de edades a estimar M. Si model es constant, entonces el valor 1. Si model es age-specific y si queremos estimar edad 1, 2, y 4 (sin importar el grupo plus), entonces será c(1,2,4).
  • logb_prior: (logical) Se debe usar prior para la relación con peso a la edad? El prior para b es N(0.305,0.08).

WHAM: Capturabilidad

Capturabilidad

Definición: proporción de peces de la población pescada por una unidad de esfuerzo pesquero. Mide la interacción entre la abundancia del recurso y esfuerzo pesquero (Arreguin-Sanchez 1996).

En WHAM, especificamos un parámetro de capturabilidad por índice de abundancia. Además, podemos incluir desviaciones:

logit(qi,y)=logit(qi)+δi,y

Donde δi,y sigue una distribución normal y puede ser independientes en el tiempo o correlacionadas en el tiempo.

Definición en R


my_input = wham::prepare_wham_input(model_name = "Example_1",
                         basic_info = input_data, 
                         NAA_re = list(), # NAA parameters
                         M = list(), # M parameter
                         selectivity = list(), # Selectivity parameter
                         catchability = list(), # Catchability parameter
                         ecov = list(), # Environmental information
                         # Crecimiento somatico:
                         growth = list(), LAA = list(), # Mean length-at-age
                         LW = list(), # Length-weight relationship
                         WAA = list(), # Mean weight-at-age
                         age_comp = "multinomial", # Age composition model
                         len_comp = "multinomial" # Length composition model
                         )

Definición en R


Enfoquemos solo la parte de abundancia a la edad. Se pueden incluir los siguientes argumentos:

my_input = wham::prepare_wham_input(...,
                         catchability = list(re = ..., # Estructura de desviaciones
                                             initial_q = ..., # Valores iniciales para Q
                                             q_lower = ..., # Lower bound
                                             q_upper = ..., # Lower bound
                                             prior_sd = ...), # SD para prior (normal)
                         ...
                         )

donde ... representa objetos que vamos a especificar.

Estructura de desviaciones


  • re: (character vector) estructura de desviaciones. Longitud debe ser igual al número de índices.
    • none: no desviaciones
    • iid: independientes
    • ar1: correlacionados en el tiempo

Parámetros de capturabilidad

  • initial_q: (numeric vector) valores iniciales de q. Longitud debe ser igual al número de índices.
  • q_lower: (numeric vector) lower bound de q. Longitud debe ser igual al número de índices.
  • q_upper: (numeric vector) upper bound de q. Longitud debe ser igual al número de índices.
  • prior_sd: (numeric vector) valores de SD si prior quiere ser usado. Especificar NA si no se quiere usar prior. Longitud debe ser igual al número de índices.

Referencias

Arreguin-Sanchez, Francisco. 1996. “Catchability: A Key Parameter for Fish Stock Assessment.” Reviews in Fish Biology and Fisheries 6 (2). https://doi.org/10.1007/bf00182344.
Lorenzen, K. 1996. “The Relationship Between Body Weight and Natural Mortality in Juvenile and Adult Fish: A Comparison of Natural Ecosystems and Aquaculture.” Journal of Fish Biology 49 (4): 627–42. https://doi.org/10.1111/j.1095-8649.1996.tb00060.x.
Stock, Brian C., and Timothy J. Miller. 2021. “The Woods Hole Assessment Model (WHAM): A General State-Space Assessment Framework That Incorporates Time- and Age-Varying Processes via Random Effects and Links to Environmental Covariates.” Fisheries Research 240 (August): 105967. https://doi.org/10.1016/j.fishres.2021.105967.
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